keluarga himpunan

Perluasan Operasi Himpunan dan Keluarga Himpunan Berindeks

Himpunan dari himpunan-himpunan disebut keluarga atau kumpulan himpunan.
Keluarga himpunan dinotasikan dengan
Contoh. {{ } { } { } { }}merupakan keluarga himpunan yang terdiri atas 4 himpunan. Perhatikan bahwa { } dan { } tetapi
Contoh.
Himpunan {( ) } merupakan keluarga himpunan interval terbuka. Himpunan-himpunan ( ) ( √ √ ) ( ) adalah anggota-anggota Perhatikan gambar 2.3.1
Gambar 2.3.1
DEFINISI
Misalkan merupakan keluarga himpunan. Gabungan atas adalah ⋃ { }
Berdasarkan definisi gabungan diatas, untuk sebarang objek x, dapat dituliskan: ⋃ ( )( )
Simbol diatas secara langsung menyatakan hubungan gabungan atas keluarga himpunan dan keberadaan kuantor Untuk menunjukkan suatu objek berada dalam keluarga gabungan, harus ditunjukkan bahwa terdapat paling sedikit satu himpunan dalam keluarga himpunan yang berisi objek. Gambar 2.3.2 (a) adalah diagram venn yang menunjukkan gabungan atas keluarga himpunan { }

Gambar 2.3.2
Untuk keluarga himpunan diatas, ⋃ { } Gabungan dari keluarga himpunan = {( ) } merupakan himpunan semua bilangan riil karena bilangan riil b adalah anggota dari interval terbuka ( | | | | ).
DEFINISI
Misalkan merupakan keluarga himpunan. Irisan atas adalah ⋂ { }
Irisan atas keluarga , dituliskan: ⋂ ( )( )
Gambar 2.3.2 (b) adalah diagram venn irisan atas keluarga himpunan { }.
Contoh.
Berdasarkan keluarga himpunan diatas, diperoleh ⋂ { } karena 3 merupakan objek yang termuat dalam empat himpunan di . Irisan keluarga himpunan = {( ) } adalah himpunan { } karena 0 adalah bilangan yang terdapat disetiap himpunan di
Contoh.
Keluarga himpunan {{ } { }}⋃ { }dan ⋂ { }
Jika hanya terdapat dua himpunan dalam keluarga himpunan, maka gabungan dan irisan atas keluarga himpunan sama seperti gabungan dan irisan yang didefinisikan dalam bagian 2.2.
Teorema 2.3.1
Untuk seriap himpunan B dalam keluarga himpunanberlaku
(a) ⋂
(b) ⋃
(c) Jika keluarga himpunan tidak kosong, maka ⋂ ⋃ .
Bukti.
(a) Misalkan keluarga himpunan dan . Anggap ⋂ . Berarti untuk setiap Secara khusus,
Oleh karena itu, ⋂
(b) Bukti B subset dari gabungan atas sebagai latihan 2.3.
(d) Misalkan keluarga himpunan tak kosong. Pilih sebrang himpunan Bagian (a) dan (b), ⋂ ⋃ sehingga ⋂ ⋃ .
Contoh.
Misalkan keluarga himpunan { } dengan { }.
Anggota terdiri atas { } dan { }.
Oleh karenanya, ⋃ { } dan ⋂ { }
DEFINISI
Misalkan himpunan tak kosong sedemikian hingga untuk setiap berkorespondensi dengan himpunan Keluarga himpunan { } merupakan keluarga himpunan berindeks dari himpunan-himpunan. Himpunan disebut himpunan berindeks dan setiap adalah indeks.
Banyak fenomena kehidupan yang berkaitan dengan indeks. Misalkan bangunan apartemen memiliki 6 unit untuk disewakan, yakni A sampai F. Pada sebarang waktu, untuk setiap apartemen terdiri atas 6 orang. Himpunan berindeks oleh { } Misalkan adalah himpunan orang yang tinggal di apartemen k, maka { } merupakan keluarga himpunan berindeks. Indeks merupakan pelabelan sederhana yang merujuk pada himpunan tertentu.
Contoh.
Untuk , Misalkan { }. Maka { } { } { }, dan seterusnya. Himpunan dengan indeks 10 adalah { } Setiap himpunan dalam keluarga himpunan { } memiliki 3 anggota, kecuali Untuk membentuk keluarga himpuanan yang terdiri hanya , ubah indeks himpunan sebagai berikut : { } { { }}
Tidak terdapat perbedaan antara keluarga himpunan dan keluarga himpunan berindeks. Setiap keluarga himpunan dapat menjadi berindeks dengan cara menentukan himpunan indeks yang akan menandai setiap himpunan dalam keluarga himpunan.
Contoh.
Himpunan-himpunan { } { } { } Indeks himpunan yang dipilih adalah { } Keluarga himpunan menjadi berindeks oleh adalah { } { }
Keluarga himpunan dapat menjadi berindeks oleh himpunan yang lain.
Contoh.
Jika { } dan { } { } dan { } maka { }
Contoh.
Misalkan { } dan { } untuk setiap
Maka { } { } { } { }, { } Himpunan berindeks memiliki 5 anggota tetapi keluarga himpunan berindeks { }hanya memiliki 3 anggota, karena dan
Sebagaimana contoh diatas, keluarga himpunan berindeks dapat berupa himpunan berhingga maupun himpunan tak berhingga. Banyak anggota dalam setiap anggota himpunan juga tidak harus sama,dan indeks yang berbeda tidak berkoresponden dengan himpunan yang berbeda dalam keluarga himpunan.
Operasi gabungan dan irisan atas keluarga himpunan digunakan juga pada keluarga himpunan berindeks, meskipun notasinya berbeda. Misalkan { }, maka notasi gabungan dan irisan sebagai berikut.
⋃ ⋃ dan ⋃ jika dan hanya jika ( )( )
⋂ ⋂ dan ⋂ jika dan hanya jika ( )( )
Contoh.
Berdasarkan contoh sebelumnya, jika diketahui { } maka diperoleh ⋃ { } dan ⋂ { }
Contoh.
Untuk misal { }. Maka ⋃ Karena tidak ada bilangan x sedemikian hingga untuk semua ⋂
Contoh.
Untuk setiap bilangan real x, didefinisikan [ ]
Maka [ ] [ ], dan [ ]
Contoh lain menunjukkan indeks yang berbeda, namun menunjukkan himpunan yang sama. Misalnya, =[4, 5]. Himpunan ⋂ ⋃ [ )
Terdapat banyak variasi pada notasi gabungan dan irisan jika himpunan berindeks bilangan asli. Sebagai contoh, keluarga himpunan berindeks { } gabungan atas dapat dinotasikan⋃ atau ⋃ . Irisan atas dinotasikan ⋂ Sehingga ⋃ dan ⋂
Contoh.
Untuk setiap , misalkan [ ]. Untuk { }. ⋂ ⋃ ⋃ { }
⋃ { } ⋂ { } ⋂
Teorema 2.3.2
Misalkan { } adalah kumpulan himpunan berindeks, maka
(a) ⋂ untuk setiap
(b) ⋃ untuk setiap
(c) (⋂ ) ⋃ (Hukum De Morgan’s)
(d) (⋃ ) ⋂ (Hukum De Morgan’s)
Bukti.
Pembuktian (a) dan (b) sama seperti teorema 2.3.1 dan ditinggalkan sebagai latihan
(c) (⋂ ) jhj ⋂
jhj tidak berlaku untuk setiap
jhj untuk suatu
jhj untuk suatu
jhj ⋃
Oleh karena itu, (⋂ ) ⋃
(d) (⋃ ) (⋃( ) )
((⋃ ) ) ⋂
DEFINISI
Keluarga himpunan berindeks { }adalah pasangan yang saling asing jika dan hanya jika untuk semua atau
Keluarga himpunan { } pada gambar 2.3.3 (a) adalah pasangan saling asing. Keluarga himpunan { } pada gambar 2.3.3 (b) bukan pasangan yang saling asing. Meskipun , namun himpunan dan tidak saling asing.
Gambar 2.3.3
Contoh.
Misalkan { }, dengan
{ } { } { } { } { } { }
Keluarga himpunan adalah pasangan yang saling asing. Perhatikan bahwa, dan , sehingga { }.
Contoh.
Misalkan { } untuk setiap x di dan { }
Maka { } dan { }
Keluarga himpunan saling asing karena dengan | | | | dan dengan | | | |.